На главную /  Математика / Алгебра 8 класс

Определение. Квадратным неравенством называется неравенство вида ax² + bx + c > 0, где вместо знака > может быть другой знак неравенства: ³ , < или ³ .

Для решения квадратного неравенства надо представить себе расположение графика функции y = ax² + bx + c относительно оси Ox. Возможны три случая – график совсем не пересекает ось Ox (трехчлен не имеет корней), пересекает ее в двух точках (трехчлен имеет два корня) или график касается оси Ox (трехчлен имеет один корень).

Рассмотрим сначала случай, когда график не пересекает оси Ox. В этом случае квадратичная функция сохраняет постоянный знак на всей числовой оси, причем этот знак совпадает со знаком старшего коэффициента а. Поэтому решением квадратного неравенства в этом случае будут либо все вещественные числа, либо пустое множество (не будет решений вовсе).

Теперь рассмотрим случай, когда график квадратичной функции пересекает ось Ox в двух точках, то есть когда квадратное уравнение ax² + bx + c = 0 имеет два корня x₁ и x₂ (x₁ < x₂).

В этом случае функция y = ax² + bx + c между корнями, то есть в промежутке (x₁; x₂) сохраняет один знак (а именно, знак, противоположный знаку а), а “вне корней”, то есть на двух промежутках (–¥ ; x₁) и (x₂; +¥ ) имеет противоположный знак (сейчас он совпадает со знаком старшего коэффициента).

Случай, когда график квадратичной функции касается оси Ox, то есть когда уравнение ax² + bx + c = 0 имеет единственный корень, на самом деле, мало отличается от первого случая, когда корней совсем нет. Действительно, в этом случае квадратичная функция сохраняет постоянный знак во всех точках, кроме единственной  точки x = –, где она обращается в нуль. При записи ответа надо не забыть учесть эту исключительную точку x = –.

Алгоритм решения квадратного неравенства, в левой части которого стоит квадратичная функция y = f(x), где f(x) = ax² + bx + c, а само неравенство имеет один из четырех видов: y > 0, y ³  0, y < 0 или y £  0.

1. Определяем, сколько корней имеет трехчлен ax² + bx + c. Это можно сделать по знаку его дискриминанта D = b² – 4ac:

а) D > 0 Þ два корня,

б) D < 0 Þ нет корней,

в) D = 0 Þ один корень.

2. В случаях б) и в) сразу записываем ответ. Он может выглядеть так: R (решениями являются все числа); Æ (решений нет); x = – (неравенство выполняется в единственной точке).

3. В случае а) находим корни x₁ и x₂ (x₁ < x₂) и записываем ответ. Он может выглядеть для строгих неравенств так: (–¥ ; x₁) È  (x₂; +¥ ) или (x₁; x₂).

В случае нестрогого неравенства в ответ надо включить точки x₁ и x₂: (–¥ ; x₁] È [x₂; +¥ ); [x₁; x₂].

Заметим, что предложенный алгоритм решения квадратных неравенств удобен тогда, когда само неравенство записано в стандартном виде (типа ax² + bx + c > 0). Однако иногда можно решать неравенства, не приводя их к стандартному виду. Такие случаи мы рассмотрим среди примеров.