На главную / Математика / Геом

На главную / Математика / Геометрия 8 класс

Окружности, описанные около треугольника и вписанные в него

Основные понятия.

Окружностью называется геометрическая фигура, которая состоит из всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки плоскости. Эта точка называется центром окружности .

Отрезок, соединяющий любую точку окружности с ее центром, а также его длина, называется радиусом окружности.

Окружность разбивает плоскость на две части. Одной из них принадлежат все точки плоскости расстояние от которых до центра окружности меньше или равно ее радиуса. Эта часть плоскости называется кругом . Про окружность при этом говорят как о границе круга, а ее радиус считается также радиусом круга. О точках плоскости, не принадлежащих кругу , говорят как о точках, лежащих вне окружности. Очевидно, что расстояние до каждой такой точки от центра окружности больше ее радиуса.

Определение окружности позволяет проиллюстрировать понятие геометрического места точек.

Геометрическим местом точек (ГМТ) называется совокупность таких и только таких точек плоскости, которые обладают заданным свойством.

В соответствии с этим определением окружность – это геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от заданной точки. Действительно, все точки окружности и только они обладают тем свойством, что лежат на расстоянии радиуса от ее центра.

Отрезок , соединяющий две точки окружности, называется хордой . Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром .

Прямая, имеющая единственную общую точку с окружностью, называется касательной , а их общая точка – точкой касания.

ПРЕЗЕНТАЦИЯ

Свойство 1.

Pадиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной.

Доказательство

Пусть окр( O ; R ) – данная окружность, прямая a касается ее в точке P . Пусть радиус OP не перпендикулярен к a . Проведем из точки O перпендикуляр OD к касательной. По определению касательной, все ее точки, отличные от точки P , и, в частности, точка D лежат вне окружности. Следовательно, длина перпендикуляра OD больше R – длины наклонной OP . Это противоречит свойству наклонной, и полученное противоречие доказывает утверждение.

Говорят, что две окружности касаются , если они имеют единственную общую точку. Эта точка называется точкой касания окружностей .

Проведем через точку касания окружностей касательную к одной из них. Тогда можно доказать, что она будет касательной и к другой окружности, то есть будет общей касательной. Будем говорить, что окружности касаются внешним образом, если их центры лежат в разных полуплоскостях от общей касательной, и внутренним образом, если центры лежат в одной полуплоскости от общей касательной.

Свойство 2.

Диаметр окружности, проходящий через середину хорды, не являющейся диаметром, перпендикулярен ей.

Доказательство

Пусть AB – хорда окружности и C – ее середина. Треугольник AOB – равнобедренный с основанием AB . Боковые стороны AO и OB равны как радиусы окружности. По свойству медианы равнобедренного треугольника, проведенной к основанию, отрезок OC является высотой. Поэтому диаметр окружности, проведенный через середину хорды, перпендикулярен хорде. Свойство доказано.

Свойство 3.

Прямая, проведенная через центры касающихся окружностей, проходит через точку их касания.

Доказательство

Соединим центры окружностей с точкой их касания. Поскольку через точку A касания двух окружностей проходит общая касательная l к этим окружностям, то угол ( l , [ AO ₁ )) = ( l , [ AO ₂ )) = 90°. Следовательно, угол O ₁ AO ₂ – развернутый и точки O ₁, A , O ₂ лежат на одной прямой a , перпендикулярной к касательной l . Свойство доказано.

Окружность и угол

Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в ее центре.

Дугой окружности , соответствующей центральному углу, называется часть окружности, расположенная внутри центрального угла.

Градусной мерой дуги окружности называется градусная мера соответствующего центрального угла.

Угол называется вписанным в окружность, если вершина его лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.

Говорят, что вписанный угол опирается на ту дугу окружности , которая не содержит вершину вписанного угла.

Так же говорят, что вписанный угол опирается на хорду, соединяющую точки пересечения окружности со сторонами угла.

Теорема 1.

Угол, вписанный в окружность, равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

Доказательство

Рассмотрим сначала частный случай, когда одна из сторон угла проходит через центр окружности. Треугольник AOB – равнобедренный, так как у него стороны OA и OB равны радиусу. Поэтому углы A и B треугольника равны. А так как их сумма равна внешнему углу треугольника при вершине O , то угол B треугольника равен половине угла AOC , что и требовалось доказать.

Общий случай сводится к рассмотренному частному случаю проведением вспомогательного диаметра BD.

В случае, представленном посередине на рисунке (b):

В случае, представленном на рисунке (с):

Следствие 1.

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Следствие 2.

Углы, опирающиеся на диаметр, равны 90°.

Теорема 2.

Если хорды AB и CD окружности пересекаются в точке S , то AS · BS = CS · DS .

Доказательство

Углы ASD и BCS рывны как вертикальные. Углы BAD и BCD равны. Так как сумма углов треугольника – 180°, то треугольники ASD и CSD имеют равные углы. Тогда Откуда AS · BS = CS · DS . Что и требовалось доказать.

Теорема 3.

Пусть из точки P вне окружности проведены два луча, пересекающие окружность в точках A , B и C , D соответственно. Тогда AP · PB = PC · PD .

Доказательство

Треугольники PDA и PBC подобны по двум углам (угол P общий, PDA = PBC ). Значит, откуда PA · PB = PC · PD , что и требовалось доказать

Окружности, описанные около треугольника и вписанные в него

Прямую, проходящую через середину отрезка перпендикулярно к нему, называют серединным перпендикуляром или медиатриссой .

Свойство 4.

Серединный перпендикуляр является ГМТ, равноудаленных от концов отрезка.

Теорема 4.

Серединные перпендикуляры к двум сторонам треугольника пересекаются.

Доказательство

Пусть ABC – треугольник, а a и b – серединные перпендикуляры к его сторонам AC и BC . Допустим, прямые a и b не пересекаются, то есть – параллельны. Прямая AC a , BC b и, следовательно, ( BC ) a , так как a || b . Таким образом, ( AC ) a и ( BC ) a , и, значит, ( AC ) || ( BC ). Но это неверно. Прямые AC и BC пересекаются в точке C . Полученное противоречие доказывает теорему.

Окружность называется описанной около треугольника , если она проходит через все его вершины.

Теорема 5.

Центр окружности, описанной около треугольника, является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Доказательство

Пусть a и b – серединные перпендикуляры к сторонам AC и BC треугольника ABC , а точка O – точка их пересечения. Из свойств серединного перпендикуляра AO = OC = OB . Следовательно, точка O лежит на серединном перпендикуляре к стороне AB . Таким образом, серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке. Кроме того, точка пересечения серединных перпендикуляров равноудалена от вершин треугольника. Отсюда, по определению, центром описанной окружности является точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Теорема доказана.

Окружность называется вписанной в треугольник , если она касается всех его сторон.

Для определения центра вписанной в треугольник окружности пользуются свойством биссектрисы угла.

Свойство 5.

Биссектриса угла является геометрическим местом точек, равноудаленных от его сторон.

Доказательство

Пусть луч c с началом в точке O является биссектрисой угла, образованного лучами a и b . Пусть C – произвольная точка биссектрисы. Опустим перпендикуляры к сторонам a и b угла из точки C , и пусть A и B соответственно основания этих перпендикуляров. Треугольники OBC и OAC равны. Действительно BOC = AOC , так как [ OC ) – биссектриса, углы при вершинах A и B прямые по построению, сторона OC общая. Следовательно, CB = CA .

Теперь пусть точка D одинаково удалена от сторон угла O , т. е. DM = DN . Прямоугольные треугольники ODM и ODN равны, так как у них общая гипотенуза OD и равные катеты DM и DN . Значит, Δ DOM = Δ DON , и точка D лежит на биссектрисе угла O .

Теорема 6.

Центр окружности, вписанной в треугольник, является точкой пересечения его биссектрис.

Доказательство

Пусть окр( O ; P ) вписана в угол ( ab ) с вершиной A . Пусть B и C – точки касания окружности прямыми b и a соответственно. Соединим точки B и C с центром O окружности. По свойству 1 ( OB ) b и ( OC ) a и OB = OC = R . Таким образом, точка O равноудалена от сторон угла на расстояние, равное радиусу окружности и по свойству 5 принадлежит биссектрисе и только ей. Пусть теперь AMN – данный треугольник, а O – центр вписанной в него окружности. По определению окружность одновременно вписана в каждый угол треугольника и его центр лежит на биссектрисах его углов. Следовательно, точка O лежит на пересечении всех трех биссектрис углов треугольника. Теорема доказана.

Теорема 7.

Градусная мера угла, образованного хордой и касательной к окружности, проведенной через конец хорды, равна половине градусной меры дуги, лежащей в данном плоском угле.

Доказательство

Пусть AB – некоторая хорда окр( O ; R ), через конец A которой проведена касательная l к окружности .

Соединим точки A и B с центром O окружности и проведем в треугольнике AOB высоту OD на сторону AB . Треугольник AOB – равнобедренный, так как стороны AO и OB равны радиусу окружности. Поэтому высота, проведенная к основанию, является одновременно и медианой и биссектрисой. В частности, Кроме того, AOD + OAD = 90°. С другой стороны, ( OA ) l по свойству касательной и, следовательно, ( l , ( AD )) – OAD = 90°. Сравнивая эти равенства, получаем Теорема доказана.

Следствие

Если один из лучей с вершиной в точке P касается окружности в точке C , а другой пересекает окружность в точках A и B , то AP · BP = PC ². Более коротко: квадрат отрезка касательной к окружности равен произведению отрезка секущей, проведенной из той же точки, на внешнюю ее часть.

Доказательство

Рассмотрим треугольники CAP и BCP . Угол CBP равен углу ACP . Действительно угол CBP – вписанный в окружность и его величина равна половине угловой величины угла CA . С другой стороны угол ACP образован хордой AC и касательной к окружности, проведенной через конец C хорды AC . По теореме 7 градусная мера угла ACP так же равна половине градусной меры дуги CA . Так как сумма углов любого треугольника – 180°, то углы BCP и CAP данных треугольников так же равны. Следовательно, Из последнего равенства получаем что и доказывает утверждение.

Теорема 8.

Градусная мера угла между хордами равна полусумме градусных мер дуг, принадлежащих данному плоскому углу, и соответствующему вертикальному углу.

Доказательство

Пусть точка A лежит в круге, [ AC ) и [ AE ) – стороны угла, а точки D и B – точки пересечения с окружностью лучей, дополнительных к [ AC ) и [ AE ) соответственно. Угол CAE является внешним углом треугольника ABC и, следовательно, его величина равна сумме величин несмежных с ним углов треугольника, т.е.

CAE = BCA + ABC . Но углы BCA и ABC – вписанные в окружность и равны половине величины дуги CmE и BnD , соответственно. Поэтому Теорема доказана.

Теорема 9.

Градусная мера угла между секущими равна полуразности дуг, лежащих в данном плоском угле.

Доказательство

Пусть A – точка, лежащая вне круга, [ AB ) и [ AD ) – стороны угла с вершиной в точке A и луч AB пересекает окружность в точках B и E , а луч AD – в точках C и D . Соединим точки B и C отрезком. В полученном треугольнике ABC угол BCD – внешний и равен сумме углов BAD и ABC . Но а Отсюда имеем Следовательно, Теорема доказана.