МОУ Гимназия №7 г. Мурманска

Арифметическая прогрессия

Разные и нестандартные задачи

Задача №1.

Дана арифметическая прогрессия а₁, а₂, ..., в которой

1) а₃ = – 13 и а₇ = 3;
2) а₃ = 13 и а₈ = – 7.

Определить, при каком количестве членов сумма прогрессии будет

1) наименьшей;
2) наибольшей;

найти значение этой суммы.

1. 1-е решение.

По условию

где d – разность прогрессии.

Сумма первых n членов прогрессии

является квадратичной функцией n. Минимум ее трехчлена находится в «нецелой» точке

Поэтому надо вычислить и сравнить значения S₅ = – 65 и S₀ = – 66.

2-е решение. Арифметическая прогрессия с разностью d = 4 является возрастающей. Поскольку a₁ = – 21, то сумма S_n будет убывать до тех пор, пока ее слагаемые a_n = a₁ + d(n – 1) остаются отрицательными, т.е. пока – 21 + 4(n – 1) < 0 Ы 4n < 25 Ю n Ј 6.

Итак, минимальное значение суммы достигается при n = 6; это значение S₆ = – 66.

Ответ: n = 6; S₆ = – 66.

2. Ответ: n = 6; S₆ = 66.

Задача 2.

Найдите первый член и разность арифметической прогрессии, для которой сумма первых пяти членов с нечетными номерами на единицу больше суммы первых пяти членов с четными номерами и равна квадрату первого члена.

Решение. Пусть а₁ – первый член прогрессии, d – ее разность.

Тогда

и условия задачи превращаются в уравнения

Из первого уравнения системы получаем второе уравнение дает 5a₁ – 4 =a²₁ . Значит, a₁ = 1 или a₁ = 4.

Ответ: разность прогрессии равна , а первый ее член равен 1 или 4.

Задача 3.

Найдите первый член и разность арифметической прогрессии, для которой сумма первых четырех членов с нечетными номерами на единицу меньше суммы первых четырех членов с четными номерами и равна взятому с отрицательным знаком квадрату первого члена.

Ответ: разность прогрессии равна , а первый ее член равен – 1 или – 3.

Задача 4.

Сумма первых пяти членов возрастающей арифметической прогрессии равна 15, а их произведение равно 1155. Найдите шестидесятый член прогрессии.

Решение. Пусть общий член прогрессии имеет вид a_n = a₁ + d(n – 1), n = 1, 2, ..., d > 0.

Тогда

Так как a₁ + a₅ = a₂ + a₄ = 2a₃, то

Ю (9 – 4d²)(9 – d²) = 385 Ы 4d⁴ – 45d² – 304 = 0.

Откуда d² = 16, т.е. d = 4, т.к. d > 0, и a₆₀ = a₃ + 57d = 3 + 57•4 = 231.

Ответ: шестидесятый член прогрессии равен 231.

Задача 5.

Сумма первых пяти членов убывающей арифметической прогрессии равна 5, а их произведение равно 280. Найдите семидесятый член прогрессии.

Ответ: семидесятый член прогрессии равен – 200.

Задача 6.

Пункты A, B, C и D расположены на прямой последовательно в указанном порядке. Пешеход выходит из пункта А и направляется в пункт D. Достигнув пункта D, он поворачивает обратно и доходит до пункта В, затратив на всю дорогу 5 часов. Известно, что расстояние между А и С он прошел за 3 часа, а расстояния между А и В, В и С, С и D в указанном порядке образуют геометрическую прогрессию. Зная, что скорость движения пешехода 5 км/час, найдите расстояние между В и С.

Решение. Пусть x = | AB |, y = | BC | и z = | CD |. Тогда x > 0, y > 0, z > 0 и

Из второго уравнения x = 15 – y, вычитая почленно из первого уравнения второе, получаем

Значит

Ответ: | BC | = 5.

Задача 7.

Сумма членов конечной геометрической прогрессии с первым членом 1 и положительным знаменателем равна

а сумма тех же членов прогрессии с чередующимися знаками (первый – со знаком «плюс», второй – со знаком «минус» и т.д.) равна

Найдите знаменатель прогрессии.

1. Решение. Пусть q – знаменатель прогрессии, содержащей n членов. Условия задачи приобретают вид

а) n – нечетное число.

б) n – четное число.

Значит, 40(1 – q) = 20(1 + q), т.е.

Ответ: знаменатель прогрессии равен

2. Ответ: знаменатель прогрессии равен .

Задача 8.

Последовательность чисел а₁, а₂, ... определяется следующим правилом:

Найдите а₁₉₉₉.

1. Решение. Выпишем несколько членов и изучим члены с нечетными номерами, так как искомый член а₁₉₉₉ имеет нечетный номер.

a₁ = 0, a₂ = 2, a₃ = 4, a₄ = 6, a₅ = 12, a₆ = 14, a₇ = 28, a₈ = 30, a₉ = 60, a₁₀ = 62, a₁₁ = 124, ..., a₁₉₉₉, ...

Предположение.

Если члены a_{2n + 1} с нечетными номерами увеличить на 4, то получим геометрическую прогрессию b_n = a_{2n + 1} + 4, n = 0, 1, 2, ... с первым членом, равным 4 (b₀ = a₁ + 4 = 4), и знаменателем 2.

b₀ = a₁ + 4 = 4, b₁ = a₃ + 4 = 8, b₂ = a₅ + 4 = 16, b₃ = a₇ + 4 = 32, ...

Доказательство.

Пусть b_n = a_{2n + 1} + 4, n = 0, 1, 2, ... Тогда по условию имеем

b_{n + 1} = a_{2(n + 1) + 1} + 4 = 2a_{2(n + 1)} + 4 = 2a_{(2n + 1) + 1} + 4 = 2(a_{2n +
1} + 2) + 4 = 2a_{2n + 1} + 8 = 2(a_{2n + 1} + 4) = 2b_n.

Так как то предположение доказано. Все числа (a_{2n + 1} + 4) являются степенями двойки. Нас интересует число

a₁₉₉₉ + 4 = a_{2•999
+ 1}+ 4 = b₉₉₉

(номер 999 найден из разложения 1999 = 2•999 + 1).

Имеем окончательно a₁₉₉₉ = b₉₉₉ – 4 = b₀•2⁹⁹⁹ – 4 = 4•2⁹⁹⁹ – 4 = 2¹⁰⁰¹ – 4.

Ответ: 2¹⁰⁰¹ – 4.

2. Ответ: 3•2¹⁰⁰⁰ – 4.

Задача 9.

Функция f(x) удовлетворяет следующему условию: для любых чисел a и b выполняется равенство

Найдите значение функции f(1999), если

1. f(1) = 1, f(4) = 7.
2. f(1) = 2, f(4) = 8.

1. Решение. Подставляя в заданное равенство пары чисел a = 4, b = 1 и a = 1, b = 4, соответственно, получим

Взяв еще a = 0, b = 3, имеем

Значит, f(0) = 3•3 – 2•5 = – 1.

Итак, получаем цепочку равенств

Далее вычисления ведем «снизу вверх»:

f(9) = 17, f(27) = 53, f(75) = 149, f(223) = 445, f(667) = 1333, f(1999) = 3997.

Ответ: 3997.

2. Ответ: 3998.