На главную / Математика / Алгеб

На главную / Математика / Алгебра 8 класс

Метод интервалов

Определение. Рациональным неравенством называется неравенство вида > 0, где – рациональное выражение (отношение двух многочленов), а вместо знака > может стоять, разумеется, любой другой знак неравенства (<, ³ , £ ).

Рациональные неравенства решают методом интервалов (промежутков).

Этот метод состоит в следующем.

1. Числитель и знаменатель дроби раскладывают на линейные множители. Если это удается полностью выполнить, то дальше поступают так.

2. На числовую ось наносят корни всех линейных множителей. Эти точки разбивают числовую ось на интервалы (промежутки), на каждом их которых дробь сохраняет постоянный знак.

3. Определяют знак дроби на каждом их промежутков.

4. Записывают ответ.

ПРИМЕРЫ:

1. Решить неравенство (x + 1)(x – 1)(x – 2) > 0.

1) Первый шаг решения уже выполнен: левая часть неравенства полностью разложена на линейные множители.

2) Находим (устно) корни линейных множителей и наносим их на числовую ось

Три корня x₁ = –1, x₂ = 1, x₃ = 2 разбивают числовую ось на четыре промежутка:

(–¥ ; –1), (–1; 1), (1; 2), (2; +¥ ).

3) Определяем знаки. Это можно сделать по-разному. Проще всего начать справа.

Выберем правый промежуток x > 2. Возьмем х=3 и подставим в исходное неравенство. Все множители положительны. Следовательно, все произведение положительно.

Рассмотрим второй промежуток (1; 2). Возьмем число 1,5. Подставив в неравенство получаем, что произведение меньше нуля.

Аналогично рассматриваем остальные промежутки.

Надпишем знаки неравенства над промежутками

4) Запишем ответ, выбрав промежутки, соответствующие решаемому неравенству.

Ответ: (–1; 1) È (2; +¥ ).

2. Решить неравенство .

1) Начинаем с преобразования левой части:

Меняем знак у неравенства (чтобы избавиться от знака "-" перед дробью):

(2)

2) Наносим корни на числовую ось, по-разному отмечая корни числителя и знаменателя.

5 корней разбили ось на 6 промежутков.

3) Отмечаем знаки справа налево.

Подставляем значения в уравнение (2).

4) Прежде чем выписывать ответ, заметим, что мы решаем нестрогое неравенство, поэтому корни числителя надо включать в ответ, а корни знаменателя нет.

Ответ: (–¥ ; –3) È [–2; 0] È [2; 3).

Самостоятельная работа.